Sesión 4. Proporcionalidad
Actividades
Entre los usos de las fracciones está la “razón”.
Una razón es una comparación entre dos cantidades (a y b) y se representa en forma de fracción que nos da como resultado el cociente c. Esto se representa de la siguiente forma:
Por ejemplo: estas cantidades pueden ser el número de perros y el número de tortugas:
Observemos que hay 5 tortugas y 3 perros.
Estas son algunas formas diferentes de escribir la razón de tortugas a perros.
-
- Hay 3 perros por cada 5 tortugas, lo que se puede expresar de la siguientes maneras usando (a y :):
- La razón de perros a tortugas es 3 a 5.
- La razón de perros a tortugas es 3 : 5.
El orden es importante en las razones.
Siguiendo con el ejemplo, lo podemos hacer de esta otra forma:
-
- Hay 5 tortugas por cada 3 perros, lo que expresamos de la siguiete forma:
- La razón de tortugas a perros es 5 a 3.
- La razón de tortugas a perros es 5 : 3.
Para entender mejor este concepto veamos los siguientes videos:
Pero ¿esto para qué me sirve?
- Resuelve los siguientes ejercicios. Razones
Proporción
Una proporción es una igualdad entre dos razones. Por ejemplo, si tenemos las siguientes razones 3 / 2 y 9 / 6 son una proporción, pues si los dividimos ambas tienen cocientes iguales 3/2=1.5 y 9/6=1.5 por lo que 3/2= 9/6.
Revisemos los siguientes videos para poder entender mejor las proporciones:
Antes de continuar, estudiaremos una regla simple pero muy útil para resolver problemas de proporción.
Regla de tres
Es un procedimiento que se aplica a la resolución de problemas de proporcionalidad en los cuales se conocen tres de los cuatro datos que componen las proporciones y se requiere calcular el cuarto
La regla de tres nos ayuda a resolver problemas de proporcionalidad cuando desconocemos una variable, los cual también nos sirve en la vida cotidiana.
Veamos qué es esta regla de tres y como se relaciona con los temas anteriormente vistos:
Razones, proporciones y la regla de 3
¿Para qué sirve conocer las proporciones?
Pensemos en una situación de la vida diaria, supongamos que vamos al supermercado o a la tienda y queremos comprar trufas de chocolate, el encargado nos dice que las trufas se venden 3 por $5.00, pero nosotros queremos comprar 10 ¿cuánto nos costará esto?
Así como en este problema hay muchos en la vida diaria que se nos presentan a diario en los cuales tenemos que aplicar las proporciones y existen dos tipos de proporciones como lo veremos a continuación:
Cuando medimos cantidades existe la proporcionalidad directa, donde sí una cantidad incrementa la otra también por ejemplo si tenemos $3.00 y con eso nos alcanza para comprar una dona. Si tuviéramos $6 nos alcanzaría para comprar dos donas, es decir si nuestra 1ª cantidad aumenta la otra también. La 1ª cantidad aumentó en 3 y la otra aumentó en uno.
$3.00 - 1 dona
$6.00 ↑- 2 donas↑
Pero también existe la posibilidad de qué si la 1ª cantidad aumenta la 2ª disminuya, por ejemplo, sí en un equipo 3 personas nos tardamos en realizar una tarea dos días entonces, ¿qué pasa si aumentamos el número de personas? lo lógico sería pensar que entre más personas más rápido terminamos la tarea, entonces, sí ahora somos 6 personas, terminamos en un día.
Para que ver esto de forma más clara revisamos el siguiente vídeo sobre proporcionalidad directa e inversa.
La proporcionalidad en la vida diaria
Ahora resolvemos algunos ejercicios.
Ejercicios de proporción.
En sesión plenaria reflexionen sobre los ejercicios que acaban de resolver y determinen cómo se relaciona con su vida diaria. También pueden exponer ejemplos donde crean que se puede aplicar las proporciones.
Número áureo
Ahora estudiaremos una proporción particular llamada la proporción aurea y la conoceremos a través de la sucesión de Fibonacci, que vimos en la sesión anterior.
Para encontrar esta relación hagamos el siguiente ejercicio:
- Primero recordemos la sucesión de Fibonacci:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233… - Ahora tomemos los dos primeros elementos de la sucesión que son: 1 y 1, y los dividimos de la siguiente forma el segundo entre el primero 1/1=1, luego hacemos lo mismo con los siguientes dos elementos el 1 y el 2 entonces tenemos 2/1 = 2, y así sucesivamente.
- Calculen estas divisiones hasta el número 13 de la sucesión de Fibonacci.
- ¿A qué número se está acercando?
Como vemos estas divisiones se van acercando a un número, dicho número es lo que se conoce como el número áureo se denota con la letra griega phi φ (se pronuncia fi) y es: 1,6180339887498…, este número los decimales nunca acaban, es decir, son infinitos.
¿Pero qué tiene de especial este número?
Revisemos el siguiente video.
¿Es divina la Sección Áurea? Phi
Actividad
Para ver cómo es que este número tiene que ver con la proporción del cuerpo humano, en equipos realicen los siguientes cálculos, para lo cual es necesario tener una cinta métrica flexible (de tela) por cada equipo y tomar evidencias de la actividad:
- Midan su brazo extendido desde su dedo anular hasta el codo (a) y luego, del codo al hombro (b), anoten los resultados. Ahora para conocer la longitud total de su brazo sumen estas dos cantidades (a+b).
- Entonces, para ver si la proporción de nuestro brazo se acerca a la proporción dorada, debemos sustituir los valores obtenidos en las siguientes razones:
- Y mientras los resultados se acerquen más al número áureo más armónico y mejor es su cuerpo.
- Ahora hagan lo mismo con todo su cuerpo, midan desde donde inicia su frente al ombligo (a) y del ombligo a la planta de sus pies (b).
- Midan de la planta de sus pies a la rodilla (a) y de la rodilla a la cadera (b).
- En sesión plenaria compren los resultados e identifiquen quien se aproximó más al número áureo.
- Comparan sus evidencias en el muro digital, y expliquen su experiencia de aprendizaje.
- En el foro de discusión hablaremos acerca de la los temas vistos y su utilidad en la vida cotidiana.
Como producto final de las 4 sesiones del proyecto realicen un prezi en donde integren todos los productos y evidencias realizadas. Publiquen en el padlet de evidencias.