I B E R .. A B A C I

 

El matemático italiano Leonardo de Pisa escribió en 1202 el Liber Abaci, un texto en el que se explica como sumar, restar, multiplicar y dividir con numerales hindo-arábigos, así como la resolución de otro tipo de problemas sobre álgebra y geometría.

En esa época se usaban en Europa los numerales romanos por lo que el trabajo de Leonardo es muy importante ya que gracias, en buena medida, a sus textos, es que los europeos conocieron y aprendieron a usar el sistema de numeración hindo-arábigo.

El "Liber Abaci" se divide en quince capítulos y pensamos que vale la pena comentar su contenido para darnos una idea de cómo estos tratados fueron fundamentales en la formación de mercaderes y comerciantes aptos en matemáticas y por tanto en el surgimiento y desarrollo del capitalismo europeo.

· Capítulo 1: Lectura y escritura de los números en el sistema hindo-arábigo.
· Capítulo 2: Multiplicación de números enteros.
· Capítulo 3: Suma de números enteros.
· Capítulo 4: Resta de números enteros.
· Capítulo 5: División de números enteros.
· Capítulo 6: Multiplicación de números enteros por fracciones.
· Capítulo 7: Fracciones.
· Capítulo 8: Precios de las mercancias más comunes.
· Capítulo 9: Comercio.
· Capítulo 10: Relaciones de parentesco.
· Capítulo 11: Conversión de Monedas.
· Capítulo 12: Problemas y soluciones.
· Capítulo 13: La regla de la falsa posición.
· Capítulo 14: Raíces cuadradas y raíces cúbicas
· Capítulo 15: Proporciones, geometría y álgebra.

 

 

Algunos problemas propuestos en el Liber Abaci son los siguientes:

Te invitamos a que los resuelvas, son problemas de matemáticas inventados en el siglo XII.

1. Siete mujeres mayores van viajando a Roma y cada una de ellas lleva siete mulas. Cada mula lleva siete sacos y en cada uno de ellos hay siete piezas de pan. En cada pieza de pan hay siete cuchillos y cada uno de ellos tiene siete dientes. ¿Cuántos dientes de cuchillo viajan a Roma?

2. Un hombre entró a una huerta que tenía siete puertas y tomó un cierto número de manzanas. Al abandonar la huerta le dio al primer guardia la mitad de las manzanas que llevaba más una. Al segundo guardia la mitad de las manzanas que le quedaban más una. Hizo lo mismo con los guardias de cada una de las cinco puertas que le faltaban. Cuando se fue de la huerta le quedaba una manzana; ¿cuántas manzanas había tomado en un principio?

3. Un hombre invierte un denario a una tasa de interés tal, que al cabo de cinco años tiene dos denarios y así cada cinco años su dinero se duplica. ¿Cuántos denarios tendrá al cabo de cien años?

4. Un cierto rey mandó treinta hombres a su huerta a plantar árboles. Si pudieron plantar mil árboles en nueve días, ¿en cuántos días podrán treinta y seis hombres plantar cuatro mil cuatrocientos árboles?

 

 

Es justamente en el Liber Abaci que Leonardo propone el enunciado y la solución del famoso problema de los conejos que dio origen a la Serie o sucesión de Fibonacci.

Esta serie de números es muy conocida y usada en matemáticas; se construye de la siguiente manera:

a) La serie empieza con dos unos
b) Cualquier término de la serie se obtiene de sumar los dos anteriores. Por ejemplo, el noveno término de la serie se construye sumando el séptimo y el octavo.
c) La serie es infinita

Así la sucesión de Fibonacci es:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229,...

El problema es el siguiente:

1) Supongamos que tenemos una pareja de conejos (macho y hembra) de un mes de edad que aún no pueden reproducirse, pero que podrán hacerlo cuando cumplan dos meses de edad.
2) Supongamos también que cada mes, a partir del segundo, nace una nueva pareja de conejos (macho y hembra).
3) Si cada pareja de conejos se reproduce de la misma forma que la pareja inicial, ¿cuántas parejas habrá al principio de cada mes?

Analicemos la solución del problema:

Pareja capaz de reproducirse
Pareja joven que no se reproduce

              1
              1
            2
          3
      5
8

Suponiendo que no se mueren, las parejas viven de la siguiente manera:

 
   
 

Cada pareja capaz de reproducirse, pasa ella misma al siguiente mes y además procrea una nueva pareja.

Cada pareja joven, se vuelve una pareja madura capaz de reproducirse.

Cada término de la sucesión de Fibonacci es la suma de los dos términos anteriores, es decir, la sucesión es la siguiente:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...

y se representa con la fórmula:

fn+1 = fn + fn-1,

Esto quiere decir, que el término que está en el lugar n+1 se obtiene de sumar los términos que están en los lugares n y n-1.

Por ejemplo, el sexto término (que es 8) se obtiene de sumar los términos quinto y cuarto (que son 5 y 3 respectivamente).

¿Podrías calcular el término número 100 de la sucesión de Fibonacci?

 
 

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