Un ejemplo de validación del conocimiento matemático
M. en C. Hugo Balbuena Corro

En un curso-taller realizado con maestros de quinto y sexto grados de primaria en Hua-muxtitlán, Guerrero, planteé el siguiente problema: los lados de un triángulo miden respectivamente 3, 5 y 8 cm. Se quiere construir otro igual, pero más grande, de manera que el lado que mide 3 cm en el triángulo original, mida 5.cm en el otro.
El propósito inicial era propiciar el uso de la fracción como operador multiplicativo, pero en el momento de dictar el problema se me ocurrió sugerir tres medidas con las cuales el triángulo no se puede construir. Pregunté a los maestros si veían algo raro con las medidas proporcionadas y alguien comentó que el triángulo no se podía hacer. A partir de ahí se expresaron diversas opiniones, pero hubo una en el sentido de que un triángulo se podía construir con tres medidas cualesquiera.
La discusión sobre la posibilidad de construir o no el triángulo quedó sin resolver porque no hubo tiempo de continuar.
Al día siguiente, el maestro que sostuvo que el triángulo siempre se podía construir me comentó que se había quedado con la duda, y quería demostrar que tenía razón. Pasó al pizarrón y dibujó para sorpresa de

muchos el triángulo de 3, 5 y 8 cm. Al parecer tenía razón.
¿ Cómo convencerlo de su error? Estaba claro que para él la opinión del conductor del curso no era válida por el solo hecho de serlo. Esta postura es loable y ojalá la aprendan los alumnos, y dejen de considerar la opinión del maestro como la última palabra.
Entonces le propuse que dibujara un triángulo cuyos lados midieran 9, 15 y 40 cm, con lo que pudo darse cuenta, después de algunos intentos, que al trazar un lado de 40 cm era imposible cerrar el triángulo con los otros dos lados. Aceptó, con dificultad, que estaba equivocado.
Es importante resaltar que la opinión del conductor no invalidó su hipótesis, sino una variante de la misma situación. No obstante, quedó un cabo suelto porque el maestro afirmó: "en matemáticas todo se puede demostrar"; ya no quise averiguar si aceptaba la demostración empírica o si requería una demostración formal.
Más tarde se me ocurrió que una manera de comprobar que con las medidas 3, 5 y 8 cm no se puede construir un triángulo, es la siguiente:

Para calcular el área de un triángulo, una fórmula muy conocida es:


fffffffffffffffffffffffff

Otra fórmula menos conocida consiste en calcular el área en función de las medidas de los tres lados: a, b y c son las medidas de los lados y P el perímetro:


En el caso en que las medidas de los lados son 3,5 y 8 se tiene:


Si el área es igual a cero, no hay tal triángulo.
Ahora bien, la fórmula sabemos claramente cómo se construye, peroÉ Ày la otra? Se invita a los maestros que traten de averiguarlo.
Finalmente, Àqué condición deben cumplir tres medidas dadas para que con ellas se pueda construir un triángulo?