Matemáticas de ayer y hoy

Si estuviésemos convencidos de que el simple conocimiento de las matemáticas es suficiente para saber enseñarlas bien, no habríamos escrito este libro. Es cierto que, fuera de una u otra metodología de la enseñanza debe haber, por parte del profesor, una amplia visión de los problemas matemáticos que le permita dar valoraciones diversas a los temas de estas "pequeñas matemáticas" en las cuales el niño debe dar sus primeros pasos. Y si, "el conocer todo para no enseñar casi nada" ha sido siempre una norma esencial permanente para el buen profesor, hoy día, frente a un desarrollo o mejor dicho frente a una evolución de las matemáticas, que se ha verificado en estos últimos decenios, el problema de la formación cultural del profesorado asume una importancia todavía mayor. Queremos, en esta parte, dar una idea, aun cuando sea somera, de los recientes cambios en la investigación de las matemáticas, a fin de discutir después con mayor competencia programas y métodos de enseñanza.
Tenemos viva la imagen de las matemáticas que se querían impartir en el año de 1800; presentadas como una inmensa construcción encerrada dentro de laberintos, formada de tantos palacios más o menos altos, algunos terminados, la mayor parte todavía en construcción; ligeros y armoniosos los unos, pesados los otros. Estos palacios no estaban aislados los unos de los otros, no sólo se podía entrar en ellos por la puerta de entrada, sino lo más interesante era que un sistema de puentes, de pasadizos de galerías, comunicaban las plantas altas con las plantas bajas, cruzándose, superponiéndose, entrelazándose como vías aéreas. Los palacios representaban los diversos capítulos de las matemáticas: el álgebra, el análisis, la geometría, etc., y los puentes indicaban que los capítulos varios no estaban aislados, sino que tantas relaciones permitían pasar de una teoría a otra.
Esta imagen de la "construcción matemática" ha impresionado siempre, y hemos visto cuán sugestivo resulta, aun en la enseñanza orientada hacia los niños, hacer comprender el sentido de aquellos puentes de comunicación, de aquellos pasadizos, de aquellas galerías.
Pero en nuestro siglo, esa imagen de fortaleza medieval que se daba a las matemáticas, sin haber perdido ninguna de sus sugestiones o de su valor, como sucede a las verdaderas obras de arte, permanece sólo como un bello cuadro representativo de las matemáticas de otra época que comprende más de dos mil años. Miramos aquella imagen, con el mismo ánimo con el que se puede admirar un paisaje pintado por Bruegel o por Carot; es un paisaje de otros tiempos, se dice, aunque piense uno que lo puede volver a encontrar en nuestros días en cualquier lugar escondido, donde a veces se nos conduce con el deseo de curiosidad y devoción por revivir precisamente una vida que en general ya no existe.
¿Qué les ha sucedido entonces a las matemáticas en estos últimos decenios? ¿Por qué la indagación matemática ha cambiado y sigue cambiando? ¿Y en qué consisten estos cambios?
Quizá aquí también, para comprender el espíritu de las matemáticas actuales, convenga ayudarse con una imagen; no se trata de observar un paisaje con sus casas o con sus palacios, sino más bien de analizar, de "hacer la anatomía", desde las bases, de las íntimas estructuras de esas construcciones. Es por esto que del trabajo matemático ya no se podría dar solamente el modelo objetivo de un conjunto de casas y de puentes; actualmente las investigaciones se llevan al interior de los materiales de construcción, analizando hasta la última fibra, aquellos empalmes y aquellos pasadizos, sin detenerse en los compartimientos, los varios casos que buscan recoger las estructuras iguales que se vuelven a encontrar en arquitecturas diferentes, y que mañana podrán sugerir otras construcciones.
Gustavo Choquet expresa en pocas frases la diferencia entre las matemáticas clásicas y las matemáticas de hoy. "El matemático tradicional", dice "estudiaba argumentos particulares que agrupaba según su grado de dificultad - aritmética, álgebra, geometría, trigonometría, etc. El descubrimiento de las grandes estructuras ha cambiado el plano y la trama de la construcción de nuestro mundo."
En lugar de las figuras horizontales, nosotros veíamos sólo las verticales. Nos valemos, ahora, de instrumentos diferentes de aquellos que se utilizaban hasta hace unos cincuenta años, los que nos permiten descubrir la igualdad de muchos capítulos que antes eran presentados - regresando a nuestro modelo-como palacios distintos. Queriendo recoger, bajo una teoría única, conceptos de nombres diferentes, se está obligado a construir un lenguaje convencional donde, con un solo símbolo, se representen entes de apariencias diversas o frases que pongan en relación fenómenos diferentes.
A las matemáticas que se estudiaban hasta hace unos cincuenta años se les daba el nombre de matemáticas clásicas; en ellas, lo repetimos, la atención era llevada hacia los palacios, esto es, sobre cada uno de los capítulos de las matemáticas, y sobre "las bases de los palacios", que constituían los elementos-base de la teoría misma, es decir sobre los números, sobre el punto, sobre la recta, etc.
Se da en cambio el nombre de "matemáticas modernas" a aquellas cuya esencia no se debe a la calidad del material utilizado para las bases, sino a las leyes operatorias que han permitido su construcción; esto es que, en vez de razonarlas sobre entes determinados, se consideran ahora como diversos sistemas de reglas -la axiomatización--, algunas de las cuales se aplican, por tanto, a cada uno de los modelos distintos; es esta axiomatización la que constituye precisamente la base de las matemáticas modernas.
Como lo ha dicho algún matemático, en una comparación particularmente expresiva: "A semejanza de los seis personajes en busca de autor de Pirandello, los términos de las matemáticas modernas no son más que nombres en busca de entes a los cuales se puedan aplicar".
En nuestro modelo estas reglas podrían interpretarse como leyes arquitectónicas que restan validez, cualquiera que sea la forma de la construcción y cualquiera que sea la calidad de los materiales usados.
Hemos dado una imagen de las matemáticas de hoy contraponiéndola a una imagen de las matemáticas de ayer, pero estas dos representaciones conquistarán un significado más profundo sólo cuando se haga notar por qué de la una se ha pasado a la otra, pues, en suma, los matemáticos se han visto obligados a sustituir la primera por la segunda.
Es evidente que este, esta crisis de las matemáticas ajetreo de ideas, esta crisis de las matemáticas no podría ni siquiera se comprendida en la escuela media, pero es esencial que nosotros los profesores debamos aclarar las ideas sobre los problemas de fundamentación para poder dar una cierta dirección a nuestra enseñanza y una cierta interpretación a los programas mismos.