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El término paradoja viene del griego para, “más allá de” y doxa, “lo creíble”. Aunque esta idea puede tener muchos significados, lo común a todas las paradojas es que son argumentos que parecen lógicos, pero cuya conclusión va en contra del sentido común.
En un sentido amplio, como el que empleamos en el lenguaje cotidiano, llamamos paradojas a afirmaciones que parecen no tener sentido. Por ejemplo: “cuando descanso me canso más”. También solemos llamar paradojas a razonamientos que concluyen algo absurdo:
Un helado de chocolate es mejor que todo el dinero del mundo
porque nada es mejor que todo el dinero del mundo
y un helado de chocolate es mejor que nada . |
Pero no son paradojas en el sentido matemático riguroso de la lógica. La primera afirmación puede considerarse una inconsistencia porque cuando uno descansa no tiene por qué cansarse más.
El segundo ejemplo es un tipo de argumento al que los matemáticos llaman falacia: no es verdad que nada sea mejor que todo el dinero del mundo, como tampoco es verdad que un helado de 
chocolate sea mejor que nada. El argumento es una paradoja porque no hay nada de verdad en lo que estos anunciados afirman.
Las afirmaciones a las que llamamos paradojas en lenguaje cotidiano por lo general se pueden desenmarañar, podemos encontrar una explicación que les dé sentido. Para los matemáticos, en cambio, las únicas afirmaciones que se consideran paradojas son las que no podemos explicar sin llegar a una contradicción.
Oraciones como “este enunciado es falso” son las que verdaderamente han causado revueltas.
La paradoja del mentiroso
Veamos un ejemplo. Considera el enunciado “este enunciado es falso”.
Si el enunciado “este enunciado es falso” es verdadero, entonces lo que afirma es cierto y por lo tanto tiene que ser falso. Pero si es falso, lo que afirma no es verdad, es decir, no es cierto que sea falso y por lo tanto tiene que ser verdadero. Cuando se trata de decidir si el enunciado es falso o verdadero se llega a una contradicción: el enunciado es verdadero sólo si es falso y viceversa.
Este enunciado es un típico ejemplo de paradoja porque cuando tratamos de explicarlo, sólo quedamos más confundidos.
El problema con este enunciado es la autoreferencia: este enunciado habla de sí mismo. A este tipo de enunciados se les conoce también como antinomias. Hoy decimos que son “indecidibles” porque no se puede determinar si son verdaderas o falsas sin llegar a contradicciones.
Otro ejemplo de antinomia son estas dos oraciones que, aunque no hablan de sí mismas, pero sí una de la otra.
A: El enunciado B es falso.
B: El enunciado A es verdadero.
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Si A es verdadero, entonces B es falso. Y dado que B es falso, entonces A tiene que ser falso.
Pero si A es falso, entonces B es verdadero. Y como B es verdadero, entonces A tiene que ser verdadero.
Si no entendiste a la primera, te sugiero que vuelvas a leer la explicación. Recuerda que eso es lo que generan las paradojas: confusión.
Aunque estos dos enunciados no hablan de sí mismos, uno habla del otro y no es posible decidir si son verdaderos o falsos sin caer en un círculo vicioso.
Estos dos ejemplos tienen una historia común: la paradoja del mentiroso. Cuenta la leyenda que Epiménides, un poeta 
griego que vivió en Creta en el siglo VI antes de nuestra era, un día se paró en la plaza principal y dijo: “Todos los cretenses somos mentirosos”.
Si Epiménides estaba diciendo la verdad, quería decir que, al ser él mismo cretense, era un mentiroso y, por lo tanto estaba echando una mentira. Ahora, si no estaba diciendo la verdad, era falso que todos los cretenses fueran mentirosos y, por lo tanto, estaba diciendo la verdad.
Los griegos quedaron intrigados durante siglos... ¿Cómo poder explicar esta aparente contradicción?
Dime cómo hablas y te diré qué me dices
Estas paradojas se conocen como paradojas semánticas porque tienen que ver con la verdad o falsedad de lo que se está diciendo. Algunas paradojas de este tipo se resuelven al introducir la idea de metalenguaje, concepto desarrollado a mediados del siglo XX por el matemático
polaco Alfred Tarski. Él sugirió que las afirmaciones simples y llanas como “las hojas de los árboles son verdes”, se dicen en un lenguaje objeto. Para poder hablar de la verdad o falsedad de estas afirmaciones es necesario utilizar un lenguaje que hable del lenguaje, es decir, un metalenguaje. La frase “el enunciado ‘las hojas de los árboles son verdes’ es verdadero” está expresada en un metalenguaje porque se refiere a la verdad o falsedad (el valor de verdad) de un enunciado en lenguaje objeto.
Para hablar sobre el valor de verdad de este metalenguaje se necesita un metalenguaje más elevado. Como los peldaños de una escalera infinita, a cada lenguaje objeto le corresponde un metalenguaje que está por encima y él mismo es el metalenguaje de un lenguaje que está por debajo.
Cuando se mezclan tipos de lenguajes podemos llegar a conclusiones realmente absurdas:
Romeo ama a Julieta
Julieta es una palabra de siete letras
Por lo tanto, Romeo ama a una palabra de siete letras |
Considerando esta idea de los distintos niveles de lenguaje podemos decir que esta conclusión realmente no es una paradoja porque cada uno de estos enunciados está hablando, literalmente, en un lenguaje distinto.
