Solución al problema 1
Empezamos con dos bolas x1 y x2 (x1 < x2) con lo cual eliminamos la bola x2-x1. Al agregar una tercera bola x3 eliminamos x3-x1 pero podemos hacer que x3-x2 = x2-x1 para no eliminar otra más. Al agregar la bola xi tenemos que eliminar, necesariamente, la bola xi-x1. En el mejor de los casos si hemos echado n bolas debimos eliminar n-1 bolas. Por lo tanto, a lo más podremos tener 5 bolas en el saco. No conviene usar pares porque la diferencia de pares es par. Otra estrategia consiste en empezar por los números mayores y vamos eliminando los menores. La solución es 5:

Bolas número: 1,3,5,7,9 o 10,9,8,7,6
  Solución al problema 2
La idea es construir dicho número sabiendo que el número de divisores está dado por el producto de los exponentes de sus factores primos aumentados en uno.

Si consideramos un solo factor primo, (el menor para así tener el máximo exponente posible) tendríamos 29=512 que tiene 10 divisores. Por lo tanto el número buscado tendrá a lo más 9 factores primos (incluyendo los repetidos, estamos contando los 9 doses) ya que cualquier número que tenga 10 o más factores primos será mayor que 1000.

Considerando 2 factores primos distintos (los menores que son 2 y 3) tendríamos como candidatos

28´ 3 = 768 que tiene 9´ 2=18 divisores, 26´ 32=576 con 7´ 3 = 21 divisores 25´ 33 = 864 con 6´ 4=24 divisores.

Considerando 3 factores primos distintos tenemos 26´ 3´ 5= 960 con 7´ 2´ 2=28 divisores. Intentemos agregar otro factor primo distinto a los anteriores. 23´ 3´ 5´ 7 = 840 que tiene 4´ 2´ 2´ 2 = 32 divisores y que es el número buscado ya que no es posible agregar factores distintos y tampoco nos sirve 22´ 32´ 5´ 7 = 1260 > 1000.
Solución al problema 3
Llamemos p a la longitud CD=DE=EF=CB=FA=AB. EL radio de las dos semicircunferencias es entonces p/2. El perímetro de las dos semicircunferencias equivale al de la circunferencia de radio p/2, por lo tanto el perímetro de la figura:

4p + 2p (p/2) = 4p + p p = 4 + p ® p = 1

Por lo tanto su área es:

2p2 + p (p/2)2 = 2 + p

  Solución al problema 4
Los primeros 8 números de la lista son:

2, p , p /2, 1/2, 1/p , 2/p , 2, p

Los primeros 6 se repiten cíclicamente. 2000 deja 2 de residuo al dividirse por 6 así que p es le número en el lugar 2000.

Solución al problema 5
Si no consideráramos la información de la nota tendríamos 105 posibles pulseras, pero de esta forma estaríamos contando cinco veces la misma pulsera por lo que la respuesta es 105/5 = 20000.

  Solución al problema 1
Llamemos n al número de personas que asistió el primer día. Entonces

n (n – 1)/2 + (n – 1)(n – 2)/2 = 21 000 + algo

n(n – 1)/2 + (n – 1) (n – 2)/2 = ½ (n – 1)(n + n – 2) = ½ (n – 1)(2(n – 1))= (n – 1)2

Por lo tanto (n – 1)2 = 21 000 + algo. Además sabemos que n-1 es múltiplo de 5.

Ö 21 000 > 144 y 1452 = 21025 y puesto que 1502> 22 000, el número buscado es n=146.


Solución al problema 2
  Solución al problema 3
Puesto que cada punto de la figura puede tener dos valores ( x y o) y son nueve, el número total de figuras que se pueden formar son 29.

¿Cuántas no son simétricas? Es más fácil contar las simétricas y restar este número al total de figuras.

Hay 25 maneras de formar la siguiente parte de la figura y determina el mismo número de figuras completas con simetría. Así pues hay 29 – 25 figuras que no son simétricas.

Solución al problema 4
Coloquemos en una rueda a las nueve personas a las que preguntó Juan y representémoslas con el número de apretones de mano que dio cada una.

En la rueda hay 9 personas, por lo que la persona que dio 8 apretones de mano sólo pudo saludar a siete de los que están la rueda (ya que no se puede saludar él mismo ni a su esposa) por lo que debió haber saludado a Juan y es pareja de quien no saludó a nadie. Siguiendo el mismo razonamiento encontramos que 7 también saludó a Juan y es pareja de 1, 6 también saludó a Juan y es pareja de 2, 5 saludó a Juan y es pareja de 3 y por lo tanto Juan es el esposo de 4, es decir, la esposa de Juan dio 4 apretones de mano.