Solución al problema 1
Tendrá tantos ceros como factores 10 podamos encontrar. Como 10 = 2´ 5 y factores 2 hay en cada número par, basta con contar los factores 5, que son 4 (5, 5´ 2, 5´ 3 y 5´ 4), luego el número en cuestión tiene 4 ceros a la derecha.
  Solución al problema 2
Haciendo la suma de las fracciones obtenemos en el numerador 3A + 11B = 31. B = 1 ® 3A = 20 que no tiene solución porque A es número natural.
B = 2 ® 3A = 9 ® A= 3.

Solución al problema 1
Se volverán a juntar entre la una y las dos. Llamemos t al ángulo que va a recorrer, a partir de la una, la aguja horaria (la chica) y T al ángulo que recorrerá el minutero para volver a coincidir. A la una en punto la diferencia entre ambas agujas es de 5 minutos lo que corresponde a 5/60 = 1/12 de 360o = 30o , es decir, el minutero tendrá que recorrer un ángulo 30o más que la aguja horaria: T = t + 30o . Por otro lado, en lo que el minutero da una vuelta completa (360o), la horaria solo recorre 30o , por lo tanto T = 12t. Tenemos entonces que t + 30o = 12t y resolviendo la ecuación tenemos t = 30o / 11. La pregunta que resta por responder es: ¿Qué hora marca el reloj cuando ambas agujas coinciden a 30o / 11? Esta pregunta se resuelve con una simple regle de tres.
  Solución al problema 2
Como tiene exactamente 3 divisores es el cuadrado de un número primo. El número buscado es 10201 = 1012. Sus únicos divisores son 1, 101 y 10201.

  Solución al problema 1
El residuo al dividir un número por 7 puede ser 0, 1, 2, 3, 4, 5 o 6, es decir, 7 posibles residuos. SI tenemos 8 números por lo menos dos de ellos tendrán el mismo residuo y su resta tendrá residuo cero al dividirse por 7, es decir, es divisible por 7 o bien es múltiplo de 7.


Solución al problema 2
Sea S la suma en cada círculo:

S = a + b = b + c + d
= d + e + f
= f + g + h
= h + i

Sumando los cinco miembros de las igualdades anteriores obtenemos:

5S = a + c + e + g + i + 2( b + d + f + h). Como a + b + ... + i = 45

5S = 45 + b + d + f + h. Acotando 10 £ b + d + f + h £ 30

\ 55 £ 5S £ 75 ® 11 £ S £ 15.

Demostraremos ahora que la suma no puede ser 15 y después exhibiremos una solución con suma 14.

S = 15 ® b + d + f + h = 30 ® b + d + f + h son 6, 7, 8 y 9 aunque no necesariamente en ese orden. Pero como a = 15 – b, tenemos que a = 9, 8, 7 o 6 lo cual contradice la condición de que b + d + f + h sean 6, 7, 8 y 9. Por lo tanto S < 15

Presentamos ahora una solución para S = 14:

a + b = 14® b = 5, 6, 8 o 9 ® a = 9, 8, 6 o 5. Análogamente i® h = 5, 6, 8 o 9 ® i = 9, 8, 6 o 5.

Por otra parte, como vimos arriba S = 14 ® b+ d +f +h = 25.

Sup b= 5 ® d + f + h = 20. Sup. h = 8 ® d + f = 12 que no se puede obtener con los números disponibles {1, 2, 3, 4, 7} Sup. h = 6 ® d + f = 14 que tampoco se puede obtener con {1, 2, 3, 4, 7}. Por lo tanto b ¹ 5.

Sup. b = 9 ® d + f + h = 16. Sup. h = 8 ® d + f = 8 que sólo se puede formar, de los números disponibles {1, 2, 3, 4, 7} con 7 y 1 pero entonces el 7 tendría que sumarse con b o h sobrepasando la suma de 14. Sup. h = 6 ® d + f = 10 que puede formarse con 7 y 3 y para no sobrepasar la suma de 14 debe suceder que f = 7 ® d = 3 y se completan los números restantes para obtener la solución:

a = 5 b = 9 c = 2 d = 3 e = 4

f = 7 g = 1 h = 6 i = 8

La otra solución que existe es simétrica a esta:

a « i b « h d « f c « g