Nivel II

II-1 Aline, Mirena e Isabel escriben números naturales de cuatro cifras formados por los dígitos 1, 2, 3 y 4.

• Aline hace una lista de todos los que tienen la primera cifra igual a 1.

• Mirena hace la lista de todos los que tienen las dos primeras cifras formadas por los dígitos 1 y 2 en cualquier orden.

• Isabel hace la lista de todos los que tienen las tres primeras cifras formadas por los dígitos 1, 2 y 3 en cualquier orden.

¿Cuántos son los números naturales de cuatro cifras que no aparecen en ninguna de las listas?

Utilicemos una forma sistemática de contar los números buscados. Examinemos cifra por cifra cuáles son las posibilidades. Una representación gráfica de los números en cada lista puede ayudar:

De los números buscados:

1. La primera cifra no puede ser 1, porque estaría en la lista de Aline

2. La primera cifra es 2. Entonces la segunda cifra no puede ser 1, porque el número estaría en la lista de Mirena. El último número no puede ser 4 porque está en la lista de Isabel. Las posibilidades son:

   2341

   2431

   2413

3. La primera cifra es 3. La última cifra no puede ser 4 así que las posibilidades son:

   3412

   3421

   3142

   3241

4. Faltan los que empiezan con 4

4123

4132

4213

4231

4312

4321

En total son 13 números que no están en ninguna de las listas. Podríamos extender el problema y preguntar ¿cuántos números están en las 3 listas? o ¿cuántos están en al menos dos de las listas?

II-2 Sea ABCD un cuadrado con lado 1 cm. Si M y N son los puntos medios de los lados AB y BC, respectivamente, ¿cuál es el área de la zona sombrada?

A diferencia del problema de geometría anterior, en este caso la figura cuya área debemos encontrar es un triángulo con fórmula conocida: la mitad de la base por la altura. Esto nos sugiere buscar estos valores. La base CN la conocemos, es ½ pero falta conocer la altura. La altura IR está determinada por la intersección de los segmentos DN y CM así que debemos utilizar sus características para determinarla.

Una forma de hacerlo es estableciendo semejanzas de triángulos: los triángulos CIR y CMB son semejantes, y también lo son los triángulos CMB y CNI.

Solución 1 (D CIR » D CMB):

CR + RN = ½ .

D CIR » D CMB ® IR/CR = MB/BC = ½ ® CR = 2IR

D IRN » D DCN ® RN/IR = CN/DC = ½ ® RN = IR/2

IR/2 + 2IR = ½ ® IR = 1/5. ®

Área D INC = ½ ( ½ ´ 1/5) = 1/20.

Solución 2 (D CMB » D CNI):

Aplicando el teorema de Pitágoras obtenemos MC

MC = = Ö 5/2. MC/NC = Ö 5 = NC/IC ® IC = 1/Ö 5 y IN = 1/2Ö 5®

Área D INC = ½ ( 1/Ö 5 ´ 1/2Ö 5) = 1/20.

Solución 3:

Trazamos PB paralelo a DN, QN paralelo a CM y OQ paralelo a CB. Se forman cuatro triángulos que son congruentes al triángulo sombreado y, puesto que los cinco forman el triángulo CMB, que es un ¼ del área del triángulo, entonces el área del triángulo sombreado es 1/20.

Podemos investigar muchos otros problemas que se derivan de éste:

1. Supongamos que N divide al segemento BC en una razón dada.

2. Supongamos que M divide al segemento AB en una razón dada.

3. Supongamos que en lugar de cuadrado tenemos un rectángulo cuyos lados están en una razón dada.

4. Supongamos que en lugar de cuadrado o rectángulo tenemos un paralelogramo.

II-3 En un tablero de 10´ 10 se escribe un número en cada casilla de modo tal que la diferencia entre los números colocados en casillas adyacentes sea siempre menor o igual que 1 (dos casillas son adyacentes si tienen un lado común).

• Muestre un tablero que tenga la mayor cantidad posible de números distintos, y explique por qué no puede haber un tablero que tenga más números distintos.

• Demuestre que en el tablero hay al menos un número que se repite 6 veces o más.

Puesto que la diferencia entre las casillas debes ser menor o igual que 1, comencemos poniendo la primera hilera del 1 al 10..

La primera casilla de la segunda fila puede ser 0, 1 o 2. Pero nos conviene poner el 2 porque así al final de la hilera tendremos el 11 que es un número que no hemos utilizado y se trata de tener la mayor cantidad de números distintos

Siguiendo esta misma idea completamos fácilmente el resto de la tabla.

Pos supuesto que pudimos haber empezado con cualquier número en lugar del 1 y hubiésemos obtenido, siguiendo este método, un tablero que cumpliría las condiciones del problema. ¿Cómo podemos estar seguros de que no es posible construir otro tablero que tenga una mayor cantidad de números diferentes?

Si pensamos en recorrer el tablero viajando por casillas adyacentes, la máxima distancia que podemos viajar es de esquina a esquina, cruzando 18 casillas, por lo tanto a partir de un número n sólo podríamos tener n + 18 en la otra esquina, es decir 19 números diferentes.

El segundo inciso del problema se resuelve con una sencilla aplicación del Principio de Dirichlet: si tenemos en total 10´ 10=100 números y a lo más hay 19 diferentes entonces podemos estar seguros de que al menos uno de los números se repetirá [100/19] + 1 veces, es decir, 6 veces.