Nivel I

I-1 Se escriben 3000 dígitos, uno después del otro, de modo que todo par de dígitos consecutivos forme un número de dos cifras que sea el producto de cuatro primos (no necesariamente distintos), es decir, que el primer y segundo dígitos formen un número de dos cifras que sea el producto de cuatro primos, el segundo y tercer dígitos formen un número de dos cifras que sea el producto de cuatro primos y así sucesivamente. ¿Qué dígito ocupa la posición 1999? Nota: El número 1 no es primo.

La primera pregunta que surge es ¿qué números de dos dígitos podemos formar con el producto de cuatro números primos? Nos dicen que los cuatro primos no tienen que ser diferentes, así por ejemplo podemos formar el 16 = 2´ 2´ 2´ 2 o el 36 = 2´ 2´ 3´ 3. Un punto importante es encontrar una manera sistemática de generar todos los números que necesitamos. Una forma de hacerlo es la siguiente. Los números en cuestión tendrán cuatro doses, tres doses, dos doses, un dos o ningún dos. Estos cinco casos cubren todas las posibilidades.

1. Cuatro doses. Sólo está el 16=2´ 2´ 2´ 2

2. Tres doses.

   2´ 2´ 2´ 3 = 24

   2´ 2´ 2´ 5 = 40

   2´ 2´ 2´ 7 = 56

   2´ 2´ 2´ 11 = 88

   2´ 2´ 2´ 13 = 104 no es un número de dos dígitos.

3. Dos doses.

   2´ 2´ 3´ 3 = 36

   2´ 2´ 3´ 5 = 60

   2´ 2´ 3´ 7 = 84

   2´ 2´ 5´ 5 = 100 no es un número de dos dígitos

4. Un dos

   2´ 3´ 3´ 3 = 54

   2´ 3´ 3´ 5 = 90

   2´ 3´ 3´ 7 = 126 no es un número de dos dígitos

5. Ningún dos

3´ 3´ 3´ 3 = 81

3´ 3´ 3´ 5 = 135 no es un número de dos dígitos

Agrupémoslos de acuerdo con sus terminaciones:

Intentemos usar estos números, de acuerdo con las reglas, para formar un número de 3000 dígitos. Al leer el problema vemos que se debe cumplir que "todo par de dígitos consecutivos forme un número de dos cifras...", esto significa que el dígito de las unidades del primer producto de primos será el dígito de las decenas del segundo producto y así sucesivamente. No podemos usar el 40 porque el número formado por los dígitos 2 y 3 no sería un número de dos dígitos puesto que empezaría con 0. Lo mismo ocurre con el 60 y el 90. Empecemos con el 24. El siguiente número tendría que ser 0 (240) pero ya no podemos seguir agregando números. Lo mismo ocurre con el 54 y el 84. Probemos el 16. Debería seguir un 0 (160) y ya no podemos continuar. Lo mismo ocurre con el 36 y el 56. El 81 no lo podemos usar puesto que ninguno de nuestros números empieza con 1. La única forma de formar el número de 3000 dígitos es que los primeros 2997 sean 8. Por lo tanto el número que ocupa la posición 1999 es un 8.

¿Qué ocurriría si en lugar de formar el número de 3000 dígitos con números de dos dígitos formados por cuatro primos pedimos que sean números de dos dígitos formados por 3 primos o por 5 primos?

I-2 En una circunferencia se dibujan los puntos A, B, C, D y F a igual distancia entre sí. Se dibujan polígonos convexos que tienen sus vértices en algunos o en todos los puntos marcados. ¿Cuántos polígonos distintos se pueden dibujar? ¿Cuántos de esos polígonos son regulares?

Comencemos por hacer un esquema. Nuevamente, el problema consiste en diseñar una forma sistemática de ir contando los polígonos. Lo haremos según su número de lados, que pueden ser 6, 5, 4 o 3.

1. 6 lados. Sólo hay uno, el hexágono regular usando los 6 vértices.

2. 5 lados. Usamos cinco vértices, por lo que quitamos un vértice cada vez, es decir que serán 6. Todos son irregulares.

3. 4 lados. Usamos cuatro vértices, es decir que quitamos dos vértices cada vez. Fijémonos en los vértices que quitamos

   .	AB, AC, AD, AE, AF BC, BD, BE, BF CD, CE, CF DE, DF EF

   Son en total 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, todos irregulares.

4. 3 lados. Usamos tres vértices. Es equivalente contar los vértices que usamos o los que quitamos y como son tres y tres da igual contar unos u otros.

Con A

ABC ABD ABE ABF ACD ACE ACF ADE ADF AEF

Son en total 1 + 2 + 3 + 4 = 10 y sólo 1 regular (ACE)

Sin A

Con B

BCD BCE BCF BDE BDF BEF

Son en total 1 + 2 + 3 = 6 y sólo 1 regular (BDF)

Sin B

CDE CDF CEF DEF

Son en total 4 todos irregulares.

Tenemos en total 15 + 10 + 6 + 4 = 35 polígonos, de los cuales sólo 3 son regulares.

I-3 La circunferencia de centro O tiene 5 cm de radio. El triángulo ABC tiene 84 cm de perímetro y sus lados son tangentes a la circunferencia de centro O. Los arcos de circunferencia con centro en cada vértice del triángulo tienen 4 cm de radio. ¿Cuál es el área de la zona sombreada?

La parte sombreada no es una figura cuya área pueda ser obtenida por medio de una fórmula conocida. ¿Podemos encontrar el área a partir del área de figuras que sí conocemos y que están relacionadas con ella?

El área sombreada es igual al área del triángulo menos los sectores del círculo que están en cada vértice. ¿Podemos conocer estas dos áreas?

De los sectores circulares que están en cada vértice sabemos que provienen de una circunferencia de radio 4 cm. No sabemos cuanto mide cada ángulo del triángulo, por lo que no sabemos cuál es el área de cada uno de estos sectores circulares pero sí podemos saber cuanto suman sus áreas ya que la suma de los ángulos internos del triángulo es 180º así que la suma de sus áreas equivale al semicírculo de radio 4 cm, es decir, ½ p ´ 4² = 8p .

Del triángulo sabemos que su perímetro es 84 cm y que tiene inscrita una circunferencia de radio 5. En el punto de tangencia el radio y el lado del triángulo son perpendiculares. Podemos pensar el triángulo original como formado por los triángulos AOB, BOC y COA. Entonces;

Por lo tanto el área de la figura sombreada es 210 - 8p .