C-1 Tenemos 10 focos. Al tocar uno de ellos todos cambian, el foco prendido se apaga y el foco apagado se prende, excepto el foco que se toca, que permanece como estaba. Se empieza con todos los focos prendidos. Explica que tienes que hacer para lograr que se apaguen todos los focos.

Con el fin de entender bien las reglas del problema y tratar de ir encontrando algún patrón de comportamiento que nos ayude a hallar la solución es recomendable comenzar a tocar focos y ver que ocurre. Para ello es conveniente idear una forma eficiente de representar la hilera de los 10 focos en cada momento. En este caso nos será útil elaborar una tabla: usaremos X para focos prendidos y O para focos apagados. Empezamos con los 10 focos prendidos

Tocamos un foco, el primero por ejemplo, y obtenemos

Toquemos otro foco, diferente del primero, porque si no regresaríamos a la configuración inicial: toquemos el segundo foco.

Al comparar el estado de focos con la situación original vemos que después de tocar dos focos, aquellos que no fueron tocados quedan como estaban originalmente. Toquemos sucesivamente los focos 3 y 4 para obtener:

Continuamos tocando los focos sucesivamente y obtenemos:

La solución consiste en tocar los focos de manera sucesiva y al final todos estarán apagados.

En este problema la solución fue surgiendo prácticamente sola. Lo importante fue tener una forma eficiente de representar los focos y sus cambios. ¿Qué ocurre si modificamos ligeramente las condiciones del problema? Por ejemplo si en lugar de tener 10 focos tuviéramos 4, 8 o 2000, ¿el método para apagarlos todos seguiría funcionando? ¿Y si fueran 3 o 1999 también funcionaría? Dejaremos que el lector responda la primera pregunta y nosotros analizaremos la segunda.

Veamos primero que ocurre con 3 focos. Toquémoslos de manera sucesiva como cuando teníamos 10

Nuestro método no sirve: nos regresa al estado original. ¿Podemos encontrar otro método para apagar los focos? Veamos: si empezamos con F1 (o cualquiera de los otros dos focos) en el segundo paso debemos cambiar de foco, digamos tocar F2. Ya vimos que tocar F3 no conduce a nada. Probemos tocar nuevamente F1:

No avanzamos: seguimos teniendo un foco prendido y dos focos apagados. Si elegimos uno de los focos apagados tendremos en el siguiente renglón nuevamente uno prendido y dos apagados pero si elegimos el foco prendido entonces acabamos con los tres focos prendidos, como al principio. Hemos examinado todas las posibilidades por lo que podemos estar seguros de que iniciando con tres focos prendidos nunca podremos llegar a tenerlos todos apagados.

Pero, ¿qué ocurre si tenemos 1999 focos? Evidentemente no podemos examinar todas las posibilidades; tendremos que buscar otro tipo de argumento.

Por lo que hemos visto hasta ahora todo apunta a que cuando el número de focos es par se puede apagarlos simplemente eligiéndolos uno a la vez hasta terminar y pareciera que cuando el número de focos es impar resulta imposible apagarlos todos. ¿Podemos encontrara una razón para que esto sea así? En el caso de tres focos, notemos que el número de focos prendidos siempre es 1 o 3, es decir, un número impar.

Supongamos que tenemos un número impar de focos, de los cuales un número para de ellos está apagado y el resto (un número impar) está prendido:

Tenemos dos posibilidades, elegir un foco prendido o uno apagado:

1) Elegimos un foco prendido, digamos el último de ellos (en realidad da igual cual de los prendidos elijamos). Tendremos que todos los prendidos menos uno se apagan y como era impar el número de prendidos y apagamos todos menos uno, tendremos que el número de focos apagados es par. Todos los apagados se prenden, era un número par de apagados, más el foco elegido que permanece prendido, resulta que tenemos nuevamente un número impar de focos prendidos.

2) Elegimos un foco apagado, digamos el primero de ellos. Entonces todos los prendidos, que es un número impar, más el que elegimos estarán apagados y todos los que estaban apagados, que es un número par, menos el que elegimos, se encenderán, es decir, tendremos nuevamente un número impar de focos prendidos.

Resumiendo. Iniciamos con número impar de focos prendidos y hemos visto que ya sea que elijamos un foco apagado o uno prendido, el número de focos prendido siempre será impar y puesto que 0 es par, nunca podremos tener 0 focos prendidos, o sea, todo los focos apagados.

C-2 Una bolsa está llena con 71 dulces de los siguientes sabores: limón, naranja, uva y fresa. Hay el doble de dulces de limón que de fresa. Los dulces de naranja son uno menos que los de fresa. Hay seis dulces menos de uva que de limón.

1. ¿Cuál es el mínimo número de dulces que tienes que sacar para estar seguros de tener por lo menos dos dulces del mismo sabor?
2. ¿Cuál es el número mínimo de dulces que tienes que sacar para tener dulces de por lo menos dos sabores?

1. Por supuesto que si tenemos suerte, con dos dulces que saquemos podríamos tener los dos del mismo sabor pero ¿y si la suerte no nos favorece, como podemos estar seguros de tener un sabor repetido? Lo peor que nos puede pasar es que al sacar 4 dulces los cuatro sean de distinto sabor pero sin duda el quinto dulce que saquemos tendrá uno de los sabores que ya tenemos. La respuesta a esta pregunta es 5.
2. Para responder esta pregunta debemos saber antes cuántos dulces hay de cada sabor. De las condiciones del problema se desprende que del sabor que más dulces hay es de limón. Además como los de limón son el doble de los de fresa, la cantidad de dulces de limón es par. Si dividimos los 71 dulces entre los 4 sabores obtenemos 17.75. Puesto que la cantidad de dulces de limón está claramente encima del promedio, comencemos con 20 de limón y hagamos una tabla para ir encontrando las cantidades de dulces de los otros sabores.

Ya sabemos cuántos dulces hay de cada sabor. Lo peor que nos puede pasar es que los primeros 26 sean de limón, que es el sabor que más se repite, pero sin duda el dulce número 27 que saquemos tendrá otro sabor.

La idea utilizada para responder la pregunta del inciso a) es conocida como el Principio de Dirichlet.

C-3 Eder y Elena juegan al juego del 100. Se empieza diciendo el número 3. En cada jugada se debe decir un número mayor que el último que se haya dicho pero menor que su doble. Gana quien diga el 100. Encuentra una estrategia ganadora.

Hay muchos problemas que se pueden resolver mediante una estrategia que podemos llamar desandar lo andado. Vamos a suponer que ya llegamos a nuestra meta, es decir que ya encontramos la estrategia ganadora y por tanto dijimos el 100. Esto significa que obligamos a nuestro contrincante a decir un número mayor que la mitad de 100, que es 50 o sea que lo obligamos a decir un número mayor que 50 y menor que 100 y esto sólo es posible si nosotros dijimos antes el 50. Parte de la estrategia ganadora es decir el 50 así nuestro compañero de juego dirá un número entre 51 y 99, inclusive, y luego nosotros decimos el 100. ¿Qué tenemos que hace para poder decir el 50? Repetimos el análisis que hicimos antes y nos damos cuenta que debemos nosotros decir el 25 y para esto antes debemos decir el 12, antes el 6 y primero el 3. Por lo tanto quien empieza gana y la estrategia consiste en decir la secuencia 3 6 12 25 50 100.

Cambiemos las condiciones del problema y veamos si nuestro método sigue siendo eficaz. ¿Qué pasa si en lugar de que se gana al decir el 100 triunfa quien diga el 223? Aplicando el método de desandar lo andado encontramos la estrategia ganadora, en este caso la secuencia 3 6 13 27 55 111 223. Otra vez gana quien empieza. ¿Podría el lector cambiar el 223 por otro número de forma que ganase quien no empieza?

También podemos utilizar el mismo método en problemas con reglas diferentes, por ejemplo:

1. Gana quien diga el 32. En cada jugada se le puede sumar 1, 2, 3 o 4 al número anterior.
2. Gana quien diga el 1000. Se empieza con el 2. En cada jugada debe decirse un número mayor que el anterior pero menor que su cuadrado.