Cotorra

C-1 Tenemos 10 focos. Al tocar uno de ellos todos cambian, el foco prendido se apaga y el foco apagado se prende, excepto el foco que se toca, que permanece como estaba. Se empieza con todos los focos prendidos. Explica que tienes que hacer para lograr que se apaguen todos los focos.

C-2 Una bolsa está llena con 71 dulces de los siguientes sabores: limón, naranja, uva y fresa. Hay el doble de dulces de limón que de fresa. Los dulces de naranja son uno menos que los de fresa. Hay seis dulces menos de uva que de limón.

1. ¿Cuál es el mínimo número de dulces que tienes que sacar para estar seguros de tener por lo menos dos dulces del mismo sabor?
2. ¿Cuál es el número mínimo de dulces que tienes que sacar para tener dulces de por lo menos dos sabores?

C-3 Eder y Elena juegan al juego del 100. Se empieza diciendo el número 3. En cada jugada se debe decir un número mayor que el último que se haya dicho pero menor que su doble. Gana quien diga el 100. Encuentra una estrategia ganadora.

Nivel I

I-1 Se escriben 3000 dígitos, uno después del otro, de modo que todo par de dígitos consecutivos forme un número de dos cifras que sea el producto de cuatro primos (no necesariamente distintos), es decir, que el primer y segundo dígitos formen un número de dos cifras que sea el producto de cuatro primos, el segundo y tercer dígitos formen un número de dos cifras que sea el producto de cuatro primos y así sucesivamente. ¿Qué dígito ocupa la posición 1999? Nota: El número 1 no es primo.

I-2 En una circunferencia se dibujan los puntos A, B, C, D y F a igual distancia entre sí. Se dibujan polígonos convexos que tienen sus vértices en algunos o en todos los puntos marcados. ¿Cuántos polígonos distintos se pueden dibujar? ¿Cuántos de esos polígonos son regulares?

I-3 La circunferencia de centro O tiene 5 cm de radio. El triángulo ABC tiene 84 cm de perímetro y sus lados son tangentes a la circunferencia de centro O. Los arcos de circunferencia con centro en cada vértice del triángulo tienen4 cm de radio. ¿Cuál es el área de la zona sombreada?

Nivel II

II-1 Aline, Mirena e Isabel escriben números naturales de cuatro cifras formados por los dígitos 1, 2, 3 y 4.

• Aline hace una lista de todos los que tienen la primera cifra igual a 1.
• Mirena hace la lista de todos los que tienen las dos primeras cifras formadas por los dígitos 1 y 2 en cualquier orden.
• Isabel hace la lista de todos los que tienen las tres primeras cifras formadas por los dígitos 1, 2 y 3 en cualquier orden.

¿Cuántos son los números naturales de cuatro cifras que no aparecen en ninguna de las listas?

II-2 Sea ABCD un cuadrado con lado 1 cm. Si M y N son los puntos medios de los lados AB y BC, respectivamente, ¿cuál es el área de la zona sombrada?

II-3 En un tablero de 10 x 10 se escribe un número en cada casilla de modo tal que la diferencia entre los números colocados en casillas adyacentes sea siempre menor o igual que 1 (dos casillas son adyacentes si tienen un lado común).

• Muestre un tablero que tenga la mayor cantidad posible de números distintos, y explique por qué no puede haber un tablero que tenga más números distintos.
• Demuestre que en el tablero hay al menos un número que se repite 6 veces o más.