e s p e g a ..
s i n ..
d e s p e g a r
Desde
los primeros años de primaria los 
niños y las 
niñas se enfrentan a la necesidad de trazar trayectorias, sin embargo,
es hasta quinto año que es necesario que estas trayectorias sean
analizadas cuidadosamente. Es a partir de este momento cuando el aprendizaje
de la geometría necesita del desarrollo de otras habilidades matemáticas
para poderse desarrollar a plenitud.
Las
actividades que se proponen a continuación pertenecen a una rama
de las matemáticas llamada teoría de gráficas y son
muy útiles para apoyar los temas de 
geometría a partir del quinto año y hasta tercero de secundaria.
Particularmente cuando los niños empiezan a construir polígonos
y a contar sus caras, sus vértices y sus aristas, es necesario
que se haya desarrollado ya el concepto de trayectoria y que se sepa analizar
cuidadosamente la información que se obtiene de representaciones
planas.
La
teoría de gráficas es una rama de las matemáticas
que nació en el siglo XVIII y que fue creada por el matemático
suizo Leonhard Euler.
Una gráfica es una
colección de puntos, llamados vértices, unidos por líneas,
llamadas aristas.
De una gráfica puede obtenerse mucha información, el número
de aristas que llega a cada punto determina la gráfica y lo que
en ella puede o no hacerse.
 |
|
Algunas
definiciones
|
1
Un vértice
se llama par
si a él llega un número par de aristas
2
Un vértice
se llama impar si a él llega
un número impar de aristas
|
este
vértice es par
|
 |
|
este
vértice es impar
|
3
Una gráfica
se llama recorrible si en ella se
puede encontrar un 
camino que empiece en un vértice, que pase por todas las aristas
una sola vez, y que pueda trazarse sin levantar el lápiz de la
gráfica, es decir que el camino sea continuo.
No todas las gráficas son recorribles
|
Primera
parte
|
Aquí
hay una serie de gráficas, identifica cuáles son sus vértices,
cuáles son sus aristas, analízalas con mucho cuidado y completa
la siguiente tabla:
|
A
 |
B
 |
|
C
 |
D
 |
|
E
 |
F
 |
|
G
 |
|
|
Gráfica
letra
|
Número
total
de vértices |
Número
total
de aristas |
Número
de vértices pares |
Número
de vértices impares |
|
A
|
||||
|
B
|
||||
|
C
|
||||
|
D
|
||||
|
E
|
||||
|
F
|
||||
|
G
|
. | . | .. | . |
En las gráficas anteriores trata de encontrar un camino que pase por todas las aristas una sola vez sin levantar el lápiz de la gráfica.
¿En cuáles
se puede encontrar este camino?
|
Segunda
parte
|
En
las siguientes gráficas busca un camino que pase por todas las
aristas una sola vez sin levantar el lápiz de la gráfica.
|
A
 |
B
 |
C
 |
|
D
 |
E
 |
F
 |
|
G
 |
H
 |
I
 |
Obsérvalas cuidadosamente y completa la siguiente tabla:
|
Letra
|
Número
de vértices pares
|
Número
de vértices impares
|
¿es
recorrible?
|
|
A
|
|||
|
B
|
|||
|
C
|
|||
|
D
|
|||
|
E
|
|||
|
F
|
|||
|
G
|
|||
|
H
|
|||
|
I
|
El hecho de que una gráfica sea recorrible depende de cuantos vértices impares tiene. Piensa por qué
Analiza cuidadosamente la tabla y trata de averiguar cuándo se puede afirmar que una gráfica es recorrible. Puedes usar también las gráficas de la primera parte para tener más información.
Euler demostró lo siguiente:
1
Si en una gráfica hay más de dos vértices
impares, entonces la gráfica no es recorrible.
2
Si
en una gráfica solamente hay dos vértices impares, entonces
es posible encontrar un recorrido con tal de que éste empiece en
un vértice impar.
3 Si
en una gráfica todos los vértices son pares, entonces la
gráfica es recorrible y el recorrido puede empezar en cualquier
vértice.
Te invitamos a que con esta
información determines ahora cuáles de las gráficas
anteriores son recorribles y a que busques sus recorridos.
Te invitamos también a que resuelvas el problema de los puentes de Koenigsberg.
Continúa
con:
