Área del cuadrado = 4 unidades cuadradas

 

 

Gran problema histórico

Si tenemos un cuadrado con cierta área y queremos construir otro cuadrado con el doble de área que el primero ¿cuánto debe medir el lado del segundo cuadrado?

Para simplificar las cosas, intentemos primero resolver el problema para el cuadrado de dos por dos.

Lo primero que se nos ocurriría es pensar que si queremos que el segundo cuadrado tenga el doble de área que el primero, entonces el lado del segundo cuadrado deberá medir el doble que el lado del primero.

¿Tú crees que resulte?
Si el cuadrado original tiene un lado de medida 2, entonces el cuadrado que estamos buscando deberá tener un lado de medida 4. Así:

¿Cuál es el área de este nuevo cuadrado?
¿Qué ocurrió?

¡El área de este nuevo cuadrado no es el doble que el área del primer cuadrado sino el cuádruple!
Se puede ver de esta forma:

 

 

 

 

No hemos resuelto el problema, pero por lo menos ya sabemos que el lado del cuadrado que estamos buscando, debe medir más de 2 y menos de 4 unidades.
¿Qué tal si ahora probamos con un cuadrado cuyos lados midan 3 unidades?

Otra vez, antes de seguir, piénsalo con calma
¿Qué crees que suceda?

¿Cuál es el área de este cuadrado?

¡Tampoco funciona! ¿verdad?
El área de este cuadrado es 9, y lo que estamos buscando es un cuadrado de área 8.
A estas alturas ya sabemos que el lado del cuadrado que estamos buscando debe medir más de 2 y menos de 3.

¿Cómo lo encontramos?

Podríamos seguir intentando construir cuadrados cuyos lados midieran entre 2 y 3. Por ejemplo, podríamos probar con 2.5 o con 2.7 y quizás encontraríamos cuadrados más cercanos al que estamos buscando.
Prueba con dos cuadrados.

¿Qué sucedió?
¡Encontrar la solución no es tan fácil!

¿Cuánto debe medir el lado?
Aquí hay una posible solución

El área del cuadrado rojo es 4 unidades cuadradas.
El área del cuadrado azul es justamente el doble: 8 unidades cuadradas.

Otra manera de encontrar la solución es haciendo cuentas:

Sabemos que el área del cuadrado es lado por lado:

En el caso de nuestro problema no buscamos un área si no un lado. Sabemos que el área del cuadrado es 8 y queremos encontrar cuánto mide el lado.

Como

Entonces

Por lo que

Entonces en el caso del cuadrado de área 8, el lado deberá medir

Conclusión:
Aplicando Teorema de Pitágoras es fácil concluir que la diagonal de cualquier cuadrado es la medida del lado de un cuadrado con doble de área.

Aquí resolvimos el problema para un cuadrado cuyo lado mide dos unidades, pero este mismo problema puede ser resuelto para cualquier cuadrado.
Veamos como:

¿Cuánto mide la diagonal de este cuadrado?

¿Cuánto mide la diagonal de este otro cuadrado?

En cualquier cuadrado la diagonal es la medida del lado de un cuadrado nuevo que tendrá el doble de área que el primero

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